ประวัติ pi (พาย)

ประวัติ pi (พาย)

อักษร p (พาย) เป็นสัญลักษณ์ที่นักคณิตศาสตร์อังกฤษชื่อ William James ใช้เป็นครั้งแรกในปี พ.ศ. 2249 เพื่อบอกอัตราส่วนระหว่างความยาวเส้นรอบวงกลมกับความยาวเส้นผ่าศูนย์กลางของวงกลมวงนั้น และเมื่อ Leonard Euler นักคณิตศาสตร์ชาติสวิสใช้สัญลักษณ์ p นี้อีกในการกำหนดอัตราส่วนดังกล่าวในปี พ.ศ. 2280 นักคณิตศาสตร์ทั่วโลกก็ได้ใช้ p ตามตั้งแต่นั้นเป็นต้นมา ทุกวันนี้เรารู้ว่า p มีค่า 3.141592653589793238462643383279502884197169399375105820974944592307816406286208998628034825342117068 ประวัติศาสตร์ได้จารึกว่านักคณิตศาสตร์ชาวบาบิโลนได้เคยพยายามหาค่าของ p เป็นครั้งแรก เมื่อประมาณ 4,000 ปีมาแล้ว และได้พบว่า p มีค่าประมาณ 3 ส่วนนักคณิตศาสตร์อียิปต์ในเวลาต่อมาได้พบว่า p มีค่าประมาณ 256/81 = 3.1704938 และเมื่อถึงยุคของ Archimedes ผู้เป็นนักคณิตศาสตร์ที่ยิ่งใหญ่ที่สุดของโลกเมื่อ 2,000 ปีก่อน ท่านก็ได้เคยคำนวณหาค่าของ p เช่นกัน โดยใช้วิธีสร้างรูป 96 เหลี่ยมด้านเท่าลงในวงกลม แล้ววัดความยาวเส้นรอบรูปของรูป 96 เหลี่ยมด้านเท่านั้น จากนั้นก็เอาความยาวเส้นผ่าศูนย์กลางของวงกลมหารความยาวเส้นรอบรูปที่วัดได้ Archimedes ได้พบว่า p มีค่ามากกว่า 3 10/71 แต่น้อยกว่า 3 1/7 Archimedes จึงประมาณว่า p มีค่า 3.1406 ในปี พ.ศ. 693 Claudius Ptolemy แห่งเมือง Alexandria ได้สร้างรูป 360 เหลี่ยมด้านเท่าในวงกลม เพื่อคำนวณค่า p และได้รายงานผลการคำนวณในหนังสือ Almagest ว่า p มีค่าประมาณ 3.1416 ส่วน Tsu Chung-Chik นักคณิตศาสตร์ชาติจีนก็ได้คำนวณ p เช่นกัน และพบในปี พ.ศ. 1023 ว่า p มีค่า 335/113 = 3.141592 92 และ Bhaskara นักคณิตศาสตร์ชาติอินเดียก็ได้พบในปี พ.ศ. 1693 ว่า p = 3927/1250 = 3.1416 งานค้นคว้าเกี่ยวกับค่าของ p ได้หวนกลับสู่ยุโรปอีกครั้งหนึ่งในพุทธศตวรรษที่ 21 เมื่อ Francois Viete แห่งฝรั่งเศส ได้ใช้วิธีของ Archimedes สร้างรูป 393,216 เหลี่ยมด้านเท่าบรรจุลงในวงกลมแล้วคำนวณ p ซึ่งเขาก็ได้พบว่า p = 3.14159265358979323 ส่วน Ludolph Van Ceulen แห่งเนเธอร์แลนด์ ก็ได้พบว่า p ที่เขาหาได้จากการสร้างรูป 4.61 ล้านล้านล้านเหลี่ยมด้านเท่าลงในวงกลม มีค่าถูกต้องถึงทศนิยมตำแหน่งที่ 315 ซึ่งตัวเลขทั้ง 315 ตัวที่ Ceulen คำนวณได้นี้ได้ถูกนำมาเรียงจารึกบนหลุมฝังศพของเขา เมื่อเขาตาย งานคำนวณหาค่า p ได้เริ่มมีชีวิตชีวาใหม่อีกครั้งหนึ่ง เมื่อ Isaac Newton ได้สร้างวิชาแคลดูลัสขึ้นมาใช้ในการหาค่าของ p โดยได้พบว่า p = 4 (1-1/3+1/5-1/7+1/9-1/11+1/13-1/15.....) สูตรที่ Newton พบนี้ได้เปลี่ยนวิธีหาค่าของ p จากการสร้างรูปหลายเหลี่ยมด้านเท่ามาเป็นวิธีการบวกลบเศษส่วนแทน คือจากวิธีเรขาคณิตมาเป็นวิธีพืชคณิต แต่วิธีการเช่นนี้ก็ใช่ว่าจะประเสริฐ เพราะถ้าเราต้องการให้ค่าของ p ถูกต้องถึงทศนิยมตำแหน่งที่สอง เราต้องบวก ลบเทอมต่างๆ ถึง 50 เทอม และถ้าเราต้องการค่าที่ถูกต้องถึงทศนิยมตำแหน่งที่สาม เราต้องใช้ตัวเลขมากถึง 500 เทอม เป็นต้น และถ้าเราต้องการค่าให้ถูกต้องถึงทศนิยมตำแหน่งที่ร้อย เราก็ต้องบวก ลบเลขจำนวนล้านล้านล้านเทอม ซึ่งเป็นเรื่องที่ไม่สะดวกเลย ถึงกระนั้นนักคณิตศาสตร์ก็ได้ยอมรับว่าวิธีหาค่าของ p วิธีนี้ ดีกว่าวิธีเก่ามาก ในปี พ.ศ. 2242 Abicham Sharp ได้ใช้วิชาแคลดูลัสคำนวณหาค่าของ p ได้ถูกต้องถึงทศนิยมตำแหน่งที่ 72 และอีก 7 ปีต่อมา John Machin ได้พบสูตร p = 4 (arctan (1/5)-arctan (1/239)) และก็ได้ใช้สูตรนี้หาค่า p ถูกต้องถึงทศนิยมตำแหน่งที่ 100 ในปี พ.ศ. 2490 J.W. Wrench นักคณิตศาสตร์ชาวอเมริกันได้คำนวณค่า p ถูกต้องถึงทศนิยมตำแหน่งที่ 808 เมื่อถึงปี พ.ศ. 2492 การคำนวณหาค่า p ก็เริ่มเปลี่ยนโฉมใหม่ เมื่อกองทัพบกของสหรัฐฯ ได้ใช้เครื่องคอมพิวเตอร์ ENIAC คำนวณ p ได้ทศนิยมถูกต้องถึง 2,037 ตำแหน่ง โดยใช้เวลานาน 70 ชั่วโมง และเมื่อเทคโนโลยีคอมพิวเตอร์ได้รับการพัฒนามากขึ้น การคำนวณค่า p ก็ยิ่งถูกต้องและละเอียดมากขึ้น ในปี พ.ศ. 2538 Yasumasa Kanada แห่งมหาวิทยาลัยโตเกียว ได้คำนวณค่า p ถึงทศนิยมตำแหน่งที่ 4,294,960,000 และได้พบว่าตัวเลขทศนิยมตำแหน่งที่ 4 พันล้านนั้น คือเลข 9 แล้วมีเลข 4375343.....ตาม ข้อสังเกตหนึ่งที่ Kanada กับคณะได้พบคือ จากตัวเลขทั้ง 4 พันล้านตัวเลขนั้น เลข 6 ปรากฏบ่อยครั้งที่สุดคือ 400,033,035 ครั้ง และเลข 2 ปรากฏน้อยครั้งที่สุดคือ 399,965,405 ครั้ง และในปี พ.ศ. 2542 Y.Kanada ก็ได้ลบสถิติของตนเอง เมื่อเขาประกาศว่า เขาได้คำนวณค่า p ถูกต้องถึงทศนิยมตำแหน่งที่ 206,158,430,000 โดยใช้วิธีการสองรูปแบบที่แตกต่างกัน โดยคอมพิวเตอร์เครื่องหนึ่งใช้เวลานาน 37 ชั่วโมง และอีกเครื่องหนึ่งใช้เวลา 46 ชั่วโมง ผลการคำนวณแสดงให้เห็นว่า ตัวเลขทศนิยมตำแหน่งที่ 206,158,430,000 นั่นคือเลข 4 คำถามหนึ่งที่คนทั่วไปต้องการรู้คำตอบคือ เหตุใดมนุษย์จึงต้องทุ่มเทความพยายาม (และทรัพย์สิน) ในการหาค่า p ให้ได้จุดทศนิยมละเอียดถึงล้านล้านล้าน...ตำแหน่ง เพราะเวลานักฟิสิกส์ต้องการจะรู้ขนาดของจักรวาล เพียงเขาใช้ค่า p ที่มีจุดทศนิยมเพียง 40 ตำแหน่ง เขาก็สามารถรู้ขนาดดังกล่าวอย่างผิดพลาดไม่เกิน 0.000000001 เมตร แล้ว โดยไม่จำเป็นต้องใช้ตัวเลขที่ละเอียดถึงสองแสนล้านล้านตำแหน่งทศนิยมเลย คำตอบก็มีว่า นักคอมพิวเตอร์ใช้วิธีคำนวณค่า p ในการทดสอบประสิทธิภาพการทำงานของคอมพิวเตอร์ เพราะในโปรแกรมที่ใช้ในการหาค่า p ให้ถูกต้องถึงทศนิยมตำแหน่งที่แสนล้านหลักนั้น คอมพิวเตอร์ต้องทำงานร้อยล้านล้านขั้นตอนอย่างไม่ผิดพลาด และคอมพิวเตอร์เครื่องใดที่สามารถทำงานได้เป็นล้านล้านๆ ขั้นตอนได้อย่างไม่ผิดพลาดเลยนั้น ก็สมควรได้รับการยกย่องว่าเป็นคอมพิวเตอร์เทวดาสร้างจริงๆ ส่วนนักคณิตศาสตร์เองก็มีความสนใจที่จะศึกษาดูว่า จากตัวเลขจุดทศนิยมที่ปรากฏออกมาเป็นล้านล้านล้าน...เลขนั้น ตัวเลข 0, 1, 2, 3.....9 ปรากฏตัวบ่อยครั้งเท่ากันหรือไม่ และตัวเลขเหล่านั้นมีรูปแบบการปรากฏหรือไม่ว่าจะเริ่มซ้ำที่ทศนิยมตำแหน่งใด เป็นต้น เช่นได้มีการพบว่า ตัวเลขชุด 314159 ได้ปรากฏเรียงกัน 6 ครั้งในบรรดาเลข 710,000 ตัวแรก เป็นต้น

และถ้าเราพิจารณาดูค่าของ p อีกครั้ง เราก็จะเห็นว่า เลข 3.14159265...นั้น แสดงให้เรารู้ว่าตัวเลขต่างๆ ที่ปรากฏไม่มีรูปแบบแน่นอนว่า ถ้ามีเลข 1 นำแล้วตามด้วย 4, 1, 5 แล้ว 9...ตัวเลขเหล่านี้ปรากฏอย่างสะเปะสะปะ บางครั้งก็ 3 แล้วไป 2 ย้ายมา 9 จากนั้น 8...ซึ่งนักคณิตศาสตร์เรียกลักษณะการปรากฏตัวเช่นนี้ว่า สุ่ม (random) ดังนั้น เวลานักคณิตศาสตร์กล่าวว่า ตัวเลขเหล่านี้มีการกระจัดกระจายแบบสุ่ม นั่นก็หมายความว่า ถึงแม้เราจะรู้ตัวเลขทุกตัวขณะนี้ แต่เราก็ไม่สามารถบอกได้ว่า ตัวเลขตัวต่อไปจะเป็นตัวเลขอะไร นักคณิตศาสตร์ส่วนมากเชื่อว่าเลขทศนิยมของ p เป็นเลขสุ่ม แต่ก็ไม่มีใครสามารถพิสูจน์ได้ว่า มันเป็นเลขสุ่มอย่างแท้จริงตลอดระยะเวลา 900 ปีที่ผ่านมา แต่เมื่อเดือนสิงหาคมที่ผ่านมานี้ Richard Crandall แห่ง Reed College และ David Bailey แห่ง Lawrence Berkeley National Laboratory ในสหรัฐอเมริกาได้รายงานในวารสาร Experimental Mathematics ว่า สมการ xn = (2xn-1+1/n) mod1 เวลาให้ค่า x0 = 0 จะได้ x1 = 0, x2 = 1/2, x3 = 1/3, x4 = 11/12, x5=1/30 x6 = 7/30, x7 = 64/105, x8 = 289/840...ซึ่งตัวเลขเหล่านี้จะให้ค่า log2 = 0.6931471805599453... โดยการเสนอสูตรเช่นนี้ Bailey และ Crandall จึงได้ชื่อว่าเป็นผู้ที่พบวิธีพิสูจน์ว่าเลขทศนิยมของ log2 เป็นเลขสุ่ม และก็ได้ตั้งความหวังให้คนอื่นๆ รู้ว่า เทคนิคการพิสูจน์สภาพสุ่มของ p ก็คงสามารถกระทำได้เช่นกัน หากใครสามารถหาสมการ dynamical map ที่คล้องจองกับมันได้ ดังเช่นในกรณีของ log2 สำหรับเราๆ นั้น เราก็หวังว่างานวิจัยหาค่า p คงดำเนินต่อไปอีก จนกระทั่งได้ทศนิยมตำแหน่งสุดท้าย แต่เมื่อไม่มีใครรู้ชัดว่า ตัวเลขตัวสุดท้ายของค่า p มีหรือไม่มี และถ้ามีมันจะเป็นตัวเลขอะไร งานวิจัยเรื่องนี้จึงดูเป็นงานที่ไม่รู้เสร็จ

3.14159 day
ค่าประมาณของPi ที่เรานิยมใช้กันคือ 3.14159 ดังนั้นจึงมีประเพณีในแวดวงคณิตศาตร์สากลว่าให้ ยึดถือวันที่ 14 เดือน 3 (มีนาคม )เป็นวัน pi day โดยมีการเฉลิมฉลองกันในเวลา 1.59 น.อีกด้วย และวันนี้เป็นวันเกิดของ Albert Einstein อีกด้วย