Examples of exponential growth
ตัวอย่างของการเติบโตแบบเอกซ์โปเนนเชียล
Biology. ชีววิทยา
Microorganisms in a culture dish will grow exponentially, at first, after the first microorganism appears (but then logistically until the available food is exhausted, when growth stops).
จุลินทรีย์ ในถ้วยเพาะเลี้ยงจะเติบโตแบบเอกซ์โปเนนเชียลอย่างสม่ำเสมอเว้นแต่เมื่อ ทรัพยากรและพื้นที่ไม่จำกัด
Many responses of living beings to stimuli, including human perception, are logarithmic responses, which are the inverse of exponential responses; the loudness and frequency of sound are perceived logarithmically, even with very faint stimulus, within the limits of perception. This is the reason that exponentially increasing the brightness of visual stimuli is perceived by humans as a smooth (linear) increase, rather than an exponential increase. This has survival value. Generally it is important for the organisms to respond to stimuli in a wide range of levels, from very low levels, to very high levels, while the accuracy of the estimation of differences at high levels of stimulus is much less important for survival.
การตอบสนองของสิ่งมีชีวิตต่อสิ่งเร้า รวมถึงการรับรู้ของร่างกาย ก็สามารถใช้สมการลอการิทึมคำนวณได้(อินเวิร์สของฟังก์ชันเอกซ์โปเนนเชียล) ความดังและความถี่ของคลื่นเสียงถูกรับรู้อย่างลอการิทึม ความสว่างของแหล่งแสงที่เติบโตอย่างเอกซ์โปเนนเชียลจึงปรากฏแก่สายตามนุษย์เหมือนเติบโตแบบเส้นตรง สิ่งมีชีวิตจึงสามารถรับรู้แสง สี เสียง ในปริมาณน้อยมาก
Computer technology เทคโนโลยีคอมพิวเตอร์
In computational complexity theory, computer algorithms of exponential complexity require an exponentially increasing amount of resources (e.g. time, computer memory) for only a constant increase in problem size. So for an algorithm of time complexity 2^x, if a problem of size x=10 requires 10 seconds to complete, then a problem of size x=11 will require 20 seconds, and x=12 will require 40 seconds. This kind of algorithm typically becomes unusable at very small problem sizes, often between 30 and 100 items (most computer algorithms need to be able to solve much larger problems, up to tens of thousands or even millions of items in reasonable times, something that would be physically impossible with an exponential algorithm). Also, the effects of Moore's Law do not help the situation much because doubling processor speed merely allows you to increase the problem size by one. E.g. if a slow processor can solve problems of size x in time t, then a processor twice as fast could only solve problems of size x+1 in the same time t. So exponentially complex algorithms are most often impractical, and the search for more efficient algorithms is one of the central goals of computer science.
Physics
Nuclear chain reaction (the concept behind nuclear weapons). Each uranium nucleus that undergoes fission produces multiple neutrons, each of which can be absorbed by adjacent uranium atoms, causing them to fission in turn. If the probability of neutron absorption exceeds the probability of neutron escape (a function of the shape and mass of the uranium), k > 0 and so the production rate of neutrons and induced uranium fissions increases exponentially, in an uncontrolled reaction.
วันอังคารที่ 11 กันยายน พ.ศ. 2550
วันอาทิตย์ที่ 9 กันยายน พ.ศ. 2550
ประวัติของตรีโกณมิติ
นักคณิตศาสตร์มุสลิมในยุคกลาง ( หรือยุคมืด ตามคำเรียกของชาวยุโรป ) มีส่วนอย่างมากในการพัฒนาและอุทิศผลงานในคณิตศาสตร์สาขาตรีโกณมิติ โดยพวกเขาได้รับแนวคิด
พื้นฐานมาจาก
ตำราคณิตศาสตร์อินเดียที่ชื่อว่า Surya SiddhAnta ( สุริยสิทธานตะ )
ตำราอัลมาเกส ( เป็นภาษาอาหรับแปลว่ายิ่งใหญ่ที่สุด แสดงให้เห็นว่านักคณิตศาสตร์อาหรับยกย่องหนังสือเล่มนี้มาก )
ตำราสเฟียริก ของเมเนลาอุสนักคณิตศาสตร์ชาวกรีก
อย่างไรก็ตาม ถึงแม้ว่านักคณิตศาสตร์กรีกและอินเดียจะมีบทบาทในการพัฒนาตรีโกณมิติ แต่ทว่านักประวัติศาสตร์คณิตศาสตร์หลายท่าน ได้ให้เกียรตินักคณิตศาสตร์อาหรับว่า เป็นผู้พัฒนาความรู้ในสาขานี้อย่างแท้จริง
สำหรับประเทศไทย ก็มีศาสตร์ตรีโกณมิติเข้ามาตั้งแต่สมัยสุโขทัย ผ่านทางคัมภีร์สุริยยาตร์ สำหรับคำนวณหาตำแหน่งพระอาทิตย์และพระจันทร์ และปรากฏการณ์ข้างขึ้นข้างแรม โดยปรากฏตาราง SINE ทุกๆมุม 15 องศา เรียกว่า ตารางฉายา ส่วน COSINE จะใช้หลักการเทียบตารางฉายา เรียกว่า โกฏิฉายา
ปัจจุบัน มีการนำตรีโกณมิติไปใช้ในงานสาขาต่างๆ เช่น เป็นเทคนิคในการสร้างรูปสามเหลี่ยม ซึ่งใช้ในวิชาดาราศาสตร์เพื่อวัดระยะทางของดาวที่อยู่ใกล้ ในภูมิศาสตร์ใช้วัดระยะทางระหว่างหลักเขตที่ดิน และใช้ในดาวเทียมนำทาง งานที่มีการใช้ประโยชน์จากตรีโกณมิติ ได้แก่ ดาราศาสตร์ , ทฤษฎีดนตรี , สวนศาสตร์ , ทัศนศาสตร์ , การวิเคราะห์ตลาดการเงิน อิเล็กทรอนิกส์ , ทฤษฎีความน่าจะเป็น , สถิติศาสตร์ , ชีววิทยา , การสร้างภาพทางการแพทย์ เภสัชศาสตร์ , เคมี , วิทยาศาสตร์กายภาพสาขาต่างๆ , การสำรวจพื้นดิน , วิทยาแผ่นดินไหว ภูมิมาตรศาสตร์ , สถาปัตยกรรม , สัทศาสตร์ , วิศวกรรมไฟฟ้า , การทำแผนที่ , วิศวเครื่องกล และผลิกศาสตร์
พื้นฐานมาจาก
ตำราคณิตศาสตร์อินเดียที่ชื่อว่า Surya SiddhAnta ( สุริยสิทธานตะ )
ตำราอัลมาเกส ( เป็นภาษาอาหรับแปลว่ายิ่งใหญ่ที่สุด แสดงให้เห็นว่านักคณิตศาสตร์อาหรับยกย่องหนังสือเล่มนี้มาก )
ตำราสเฟียริก ของเมเนลาอุสนักคณิตศาสตร์ชาวกรีก
อย่างไรก็ตาม ถึงแม้ว่านักคณิตศาสตร์กรีกและอินเดียจะมีบทบาทในการพัฒนาตรีโกณมิติ แต่ทว่านักประวัติศาสตร์คณิตศาสตร์หลายท่าน ได้ให้เกียรตินักคณิตศาสตร์อาหรับว่า เป็นผู้พัฒนาความรู้ในสาขานี้อย่างแท้จริง
สำหรับประเทศไทย ก็มีศาสตร์ตรีโกณมิติเข้ามาตั้งแต่สมัยสุโขทัย ผ่านทางคัมภีร์สุริยยาตร์ สำหรับคำนวณหาตำแหน่งพระอาทิตย์และพระจันทร์ และปรากฏการณ์ข้างขึ้นข้างแรม โดยปรากฏตาราง SINE ทุกๆมุม 15 องศา เรียกว่า ตารางฉายา ส่วน COSINE จะใช้หลักการเทียบตารางฉายา เรียกว่า โกฏิฉายา
ปัจจุบัน มีการนำตรีโกณมิติไปใช้ในงานสาขาต่างๆ เช่น เป็นเทคนิคในการสร้างรูปสามเหลี่ยม ซึ่งใช้ในวิชาดาราศาสตร์เพื่อวัดระยะทางของดาวที่อยู่ใกล้ ในภูมิศาสตร์ใช้วัดระยะทางระหว่างหลักเขตที่ดิน และใช้ในดาวเทียมนำทาง งานที่มีการใช้ประโยชน์จากตรีโกณมิติ ได้แก่ ดาราศาสตร์ , ทฤษฎีดนตรี , สวนศาสตร์ , ทัศนศาสตร์ , การวิเคราะห์ตลาดการเงิน อิเล็กทรอนิกส์ , ทฤษฎีความน่าจะเป็น , สถิติศาสตร์ , ชีววิทยา , การสร้างภาพทางการแพทย์ เภสัชศาสตร์ , เคมี , วิทยาศาสตร์กายภาพสาขาต่างๆ , การสำรวจพื้นดิน , วิทยาแผ่นดินไหว ภูมิมาตรศาสตร์ , สถาปัตยกรรม , สัทศาสตร์ , วิศวกรรมไฟฟ้า , การทำแผนที่ , วิศวเครื่องกล และผลิกศาสตร์
ประวัติ pi (พาย)
ประวัติ pi (พาย)
อักษร p (พาย) เป็นสัญลักษณ์ที่นักคณิตศาสตร์อังกฤษชื่อ William James ใช้เป็นครั้งแรกในปี พ.ศ. 2249 เพื่อบอกอัตราส่วนระหว่างความยาวเส้นรอบวงกลมกับความยาวเส้นผ่าศูนย์กลางของวงกลมวงนั้น และเมื่อ Leonard Euler นักคณิตศาสตร์ชาติสวิสใช้สัญลักษณ์ p นี้อีกในการกำหนดอัตราส่วนดังกล่าวในปี พ.ศ. 2280 นักคณิตศาสตร์ทั่วโลกก็ได้ใช้ p ตามตั้งแต่นั้นเป็นต้นมา ทุกวันนี้เรารู้ว่า p มีค่า 3.141592653589793238462643383279502884197169399375105820974944592307816406286208998628034825342117068 ประวัติศาสตร์ได้จารึกว่านักคณิตศาสตร์ชาวบาบิโลนได้เคยพยายามหาค่าของ p เป็นครั้งแรก เมื่อประมาณ 4,000 ปีมาแล้ว และได้พบว่า p มีค่าประมาณ 3 ส่วนนักคณิตศาสตร์อียิปต์ในเวลาต่อมาได้พบว่า p มีค่าประมาณ 256/81 = 3.1704938 และเมื่อถึงยุคของ Archimedes ผู้เป็นนักคณิตศาสตร์ที่ยิ่งใหญ่ที่สุดของโลกเมื่อ 2,000 ปีก่อน ท่านก็ได้เคยคำนวณหาค่าของ p เช่นกัน โดยใช้วิธีสร้างรูป 96 เหลี่ยมด้านเท่าลงในวงกลม แล้ววัดความยาวเส้นรอบรูปของรูป 96 เหลี่ยมด้านเท่านั้น จากนั้นก็เอาความยาวเส้นผ่าศูนย์กลางของวงกลมหารความยาวเส้นรอบรูปที่วัดได้ Archimedes ได้พบว่า p มีค่ามากกว่า 3 10/71 แต่น้อยกว่า 3 1/7 Archimedes จึงประมาณว่า p มีค่า 3.1406 ในปี พ.ศ. 693 Claudius Ptolemy แห่งเมือง Alexandria ได้สร้างรูป 360 เหลี่ยมด้านเท่าในวงกลม เพื่อคำนวณค่า p และได้รายงานผลการคำนวณในหนังสือ Almagest ว่า p มีค่าประมาณ 3.1416 ส่วน Tsu Chung-Chik นักคณิตศาสตร์ชาติจีนก็ได้คำนวณ p เช่นกัน และพบในปี พ.ศ. 1023 ว่า p มีค่า 335/113 = 3.141592 92 และ Bhaskara นักคณิตศาสตร์ชาติอินเดียก็ได้พบในปี พ.ศ. 1693 ว่า p = 3927/1250 = 3.1416 งานค้นคว้าเกี่ยวกับค่าของ p ได้หวนกลับสู่ยุโรปอีกครั้งหนึ่งในพุทธศตวรรษที่ 21 เมื่อ Francois Viete แห่งฝรั่งเศส ได้ใช้วิธีของ Archimedes สร้างรูป 393,216 เหลี่ยมด้านเท่าบรรจุลงในวงกลมแล้วคำนวณ p ซึ่งเขาก็ได้พบว่า p = 3.14159265358979323 ส่วน Ludolph Van Ceulen แห่งเนเธอร์แลนด์ ก็ได้พบว่า p ที่เขาหาได้จากการสร้างรูป 4.61 ล้านล้านล้านเหลี่ยมด้านเท่าลงในวงกลม มีค่าถูกต้องถึงทศนิยมตำแหน่งที่ 315 ซึ่งตัวเลขทั้ง 315 ตัวที่ Ceulen คำนวณได้นี้ได้ถูกนำมาเรียงจารึกบนหลุมฝังศพของเขา เมื่อเขาตาย งานคำนวณหาค่า p ได้เริ่มมีชีวิตชีวาใหม่อีกครั้งหนึ่ง เมื่อ Isaac Newton ได้สร้างวิชาแคลดูลัสขึ้นมาใช้ในการหาค่าของ p โดยได้พบว่า p = 4 (1-1/3+1/5-1/7+1/9-1/11+1/13-1/15.....) สูตรที่ Newton พบนี้ได้เปลี่ยนวิธีหาค่าของ p จากการสร้างรูปหลายเหลี่ยมด้านเท่ามาเป็นวิธีการบวกลบเศษส่วนแทน คือจากวิธีเรขาคณิตมาเป็นวิธีพืชคณิต แต่วิธีการเช่นนี้ก็ใช่ว่าจะประเสริฐ เพราะถ้าเราต้องการให้ค่าของ p ถูกต้องถึงทศนิยมตำแหน่งที่สอง เราต้องบวก ลบเทอมต่างๆ ถึง 50 เทอม และถ้าเราต้องการค่าที่ถูกต้องถึงทศนิยมตำแหน่งที่สาม เราต้องใช้ตัวเลขมากถึง 500 เทอม เป็นต้น และถ้าเราต้องการค่าให้ถูกต้องถึงทศนิยมตำแหน่งที่ร้อย เราก็ต้องบวก ลบเลขจำนวนล้านล้านล้านเทอม ซึ่งเป็นเรื่องที่ไม่สะดวกเลย ถึงกระนั้นนักคณิตศาสตร์ก็ได้ยอมรับว่าวิธีหาค่าของ p วิธีนี้ ดีกว่าวิธีเก่ามาก ในปี พ.ศ. 2242 Abicham Sharp ได้ใช้วิชาแคลดูลัสคำนวณหาค่าของ p ได้ถูกต้องถึงทศนิยมตำแหน่งที่ 72 และอีก 7 ปีต่อมา John Machin ได้พบสูตร p = 4 (arctan (1/5)-arctan (1/239)) และก็ได้ใช้สูตรนี้หาค่า p ถูกต้องถึงทศนิยมตำแหน่งที่ 100 ในปี พ.ศ. 2490 J.W. Wrench นักคณิตศาสตร์ชาวอเมริกันได้คำนวณค่า p ถูกต้องถึงทศนิยมตำแหน่งที่ 808 เมื่อถึงปี พ.ศ. 2492 การคำนวณหาค่า p ก็เริ่มเปลี่ยนโฉมใหม่ เมื่อกองทัพบกของสหรัฐฯ ได้ใช้เครื่องคอมพิวเตอร์ ENIAC คำนวณ p ได้ทศนิยมถูกต้องถึง 2,037 ตำแหน่ง โดยใช้เวลานาน 70 ชั่วโมง และเมื่อเทคโนโลยีคอมพิวเตอร์ได้รับการพัฒนามากขึ้น การคำนวณค่า p ก็ยิ่งถูกต้องและละเอียดมากขึ้น ในปี พ.ศ. 2538 Yasumasa Kanada แห่งมหาวิทยาลัยโตเกียว ได้คำนวณค่า p ถึงทศนิยมตำแหน่งที่ 4,294,960,000 และได้พบว่าตัวเลขทศนิยมตำแหน่งที่ 4 พันล้านนั้น คือเลข 9 แล้วมีเลข 4375343.....ตาม ข้อสังเกตหนึ่งที่ Kanada กับคณะได้พบคือ จากตัวเลขทั้ง 4 พันล้านตัวเลขนั้น เลข 6 ปรากฏบ่อยครั้งที่สุดคือ 400,033,035 ครั้ง และเลข 2 ปรากฏน้อยครั้งที่สุดคือ 399,965,405 ครั้ง และในปี พ.ศ. 2542 Y.Kanada ก็ได้ลบสถิติของตนเอง เมื่อเขาประกาศว่า เขาได้คำนวณค่า p ถูกต้องถึงทศนิยมตำแหน่งที่ 206,158,430,000 โดยใช้วิธีการสองรูปแบบที่แตกต่างกัน โดยคอมพิวเตอร์เครื่องหนึ่งใช้เวลานาน 37 ชั่วโมง และอีกเครื่องหนึ่งใช้เวลา 46 ชั่วโมง ผลการคำนวณแสดงให้เห็นว่า ตัวเลขทศนิยมตำแหน่งที่ 206,158,430,000 นั่นคือเลข 4 คำถามหนึ่งที่คนทั่วไปต้องการรู้คำตอบคือ เหตุใดมนุษย์จึงต้องทุ่มเทความพยายาม (และทรัพย์สิน) ในการหาค่า p ให้ได้จุดทศนิยมละเอียดถึงล้านล้านล้าน...ตำแหน่ง เพราะเวลานักฟิสิกส์ต้องการจะรู้ขนาดของจักรวาล เพียงเขาใช้ค่า p ที่มีจุดทศนิยมเพียง 40 ตำแหน่ง เขาก็สามารถรู้ขนาดดังกล่าวอย่างผิดพลาดไม่เกิน 0.000000001 เมตร แล้ว โดยไม่จำเป็นต้องใช้ตัวเลขที่ละเอียดถึงสองแสนล้านล้านตำแหน่งทศนิยมเลย คำตอบก็มีว่า นักคอมพิวเตอร์ใช้วิธีคำนวณค่า p ในการทดสอบประสิทธิภาพการทำงานของคอมพิวเตอร์ เพราะในโปรแกรมที่ใช้ในการหาค่า p ให้ถูกต้องถึงทศนิยมตำแหน่งที่แสนล้านหลักนั้น คอมพิวเตอร์ต้องทำงานร้อยล้านล้านขั้นตอนอย่างไม่ผิดพลาด และคอมพิวเตอร์เครื่องใดที่สามารถทำงานได้เป็นล้านล้านๆ ขั้นตอนได้อย่างไม่ผิดพลาดเลยนั้น ก็สมควรได้รับการยกย่องว่าเป็นคอมพิวเตอร์เทวดาสร้างจริงๆ ส่วนนักคณิตศาสตร์เองก็มีความสนใจที่จะศึกษาดูว่า จากตัวเลขจุดทศนิยมที่ปรากฏออกมาเป็นล้านล้านล้าน...เลขนั้น ตัวเลข 0, 1, 2, 3.....9 ปรากฏตัวบ่อยครั้งเท่ากันหรือไม่ และตัวเลขเหล่านั้นมีรูปแบบการปรากฏหรือไม่ว่าจะเริ่มซ้ำที่ทศนิยมตำแหน่งใด เป็นต้น เช่นได้มีการพบว่า ตัวเลขชุด 314159 ได้ปรากฏเรียงกัน 6 ครั้งในบรรดาเลข 710,000 ตัวแรก เป็นต้น
และถ้าเราพิจารณาดูค่าของ p อีกครั้ง เราก็จะเห็นว่า เลข 3.14159265...นั้น แสดงให้เรารู้ว่าตัวเลขต่างๆ ที่ปรากฏไม่มีรูปแบบแน่นอนว่า ถ้ามีเลข 1 นำแล้วตามด้วย 4, 1, 5 แล้ว 9...ตัวเลขเหล่านี้ปรากฏอย่างสะเปะสะปะ บางครั้งก็ 3 แล้วไป 2 ย้ายมา 9 จากนั้น 8...ซึ่งนักคณิตศาสตร์เรียกลักษณะการปรากฏตัวเช่นนี้ว่า สุ่ม (random) ดังนั้น เวลานักคณิตศาสตร์กล่าวว่า ตัวเลขเหล่านี้มีการกระจัดกระจายแบบสุ่ม นั่นก็หมายความว่า ถึงแม้เราจะรู้ตัวเลขทุกตัวขณะนี้ แต่เราก็ไม่สามารถบอกได้ว่า ตัวเลขตัวต่อไปจะเป็นตัวเลขอะไร นักคณิตศาสตร์ส่วนมากเชื่อว่าเลขทศนิยมของ p เป็นเลขสุ่ม แต่ก็ไม่มีใครสามารถพิสูจน์ได้ว่า มันเป็นเลขสุ่มอย่างแท้จริงตลอดระยะเวลา 900 ปีที่ผ่านมา แต่เมื่อเดือนสิงหาคมที่ผ่านมานี้ Richard Crandall แห่ง Reed College และ David Bailey แห่ง Lawrence Berkeley National Laboratory ในสหรัฐอเมริกาได้รายงานในวารสาร Experimental Mathematics ว่า สมการ xn = (2xn-1+1/n) mod1 เวลาให้ค่า x0 = 0 จะได้ x1 = 0, x2 = 1/2, x3 = 1/3, x4 = 11/12, x5=1/30 x6 = 7/30, x7 = 64/105, x8 = 289/840...ซึ่งตัวเลขเหล่านี้จะให้ค่า log2 = 0.6931471805599453... โดยการเสนอสูตรเช่นนี้ Bailey และ Crandall จึงได้ชื่อว่าเป็นผู้ที่พบวิธีพิสูจน์ว่าเลขทศนิยมของ log2 เป็นเลขสุ่ม และก็ได้ตั้งความหวังให้คนอื่นๆ รู้ว่า เทคนิคการพิสูจน์สภาพสุ่มของ p ก็คงสามารถกระทำได้เช่นกัน หากใครสามารถหาสมการ dynamical map ที่คล้องจองกับมันได้ ดังเช่นในกรณีของ log2 สำหรับเราๆ นั้น เราก็หวังว่างานวิจัยหาค่า p คงดำเนินต่อไปอีก จนกระทั่งได้ทศนิยมตำแหน่งสุดท้าย แต่เมื่อไม่มีใครรู้ชัดว่า ตัวเลขตัวสุดท้ายของค่า p มีหรือไม่มี และถ้ามีมันจะเป็นตัวเลขอะไร งานวิจัยเรื่องนี้จึงดูเป็นงานที่ไม่รู้เสร็จ
3.14159 day
ค่าประมาณของPi ที่เรานิยมใช้กันคือ 3.14159 ดังนั้นจึงมีประเพณีในแวดวงคณิตศาตร์สากลว่าให้ ยึดถือวันที่ 14 เดือน 3 (มีนาคม )เป็นวัน pi day โดยมีการเฉลิมฉลองกันในเวลา 1.59 น.อีกด้วย และวันนี้เป็นวันเกิดของ Albert Einstein อีกด้วย
อักษร p (พาย) เป็นสัญลักษณ์ที่นักคณิตศาสตร์อังกฤษชื่อ William James ใช้เป็นครั้งแรกในปี พ.ศ. 2249 เพื่อบอกอัตราส่วนระหว่างความยาวเส้นรอบวงกลมกับความยาวเส้นผ่าศูนย์กลางของวงกลมวงนั้น และเมื่อ Leonard Euler นักคณิตศาสตร์ชาติสวิสใช้สัญลักษณ์ p นี้อีกในการกำหนดอัตราส่วนดังกล่าวในปี พ.ศ. 2280 นักคณิตศาสตร์ทั่วโลกก็ได้ใช้ p ตามตั้งแต่นั้นเป็นต้นมา ทุกวันนี้เรารู้ว่า p มีค่า 3.141592653589793238462643383279502884197169399375105820974944592307816406286208998628034825342117068 ประวัติศาสตร์ได้จารึกว่านักคณิตศาสตร์ชาวบาบิโลนได้เคยพยายามหาค่าของ p เป็นครั้งแรก เมื่อประมาณ 4,000 ปีมาแล้ว และได้พบว่า p มีค่าประมาณ 3 ส่วนนักคณิตศาสตร์อียิปต์ในเวลาต่อมาได้พบว่า p มีค่าประมาณ 256/81 = 3.1704938 และเมื่อถึงยุคของ Archimedes ผู้เป็นนักคณิตศาสตร์ที่ยิ่งใหญ่ที่สุดของโลกเมื่อ 2,000 ปีก่อน ท่านก็ได้เคยคำนวณหาค่าของ p เช่นกัน โดยใช้วิธีสร้างรูป 96 เหลี่ยมด้านเท่าลงในวงกลม แล้ววัดความยาวเส้นรอบรูปของรูป 96 เหลี่ยมด้านเท่านั้น จากนั้นก็เอาความยาวเส้นผ่าศูนย์กลางของวงกลมหารความยาวเส้นรอบรูปที่วัดได้ Archimedes ได้พบว่า p มีค่ามากกว่า 3 10/71 แต่น้อยกว่า 3 1/7 Archimedes จึงประมาณว่า p มีค่า 3.1406 ในปี พ.ศ. 693 Claudius Ptolemy แห่งเมือง Alexandria ได้สร้างรูป 360 เหลี่ยมด้านเท่าในวงกลม เพื่อคำนวณค่า p และได้รายงานผลการคำนวณในหนังสือ Almagest ว่า p มีค่าประมาณ 3.1416 ส่วน Tsu Chung-Chik นักคณิตศาสตร์ชาติจีนก็ได้คำนวณ p เช่นกัน และพบในปี พ.ศ. 1023 ว่า p มีค่า 335/113 = 3.141592 92 และ Bhaskara นักคณิตศาสตร์ชาติอินเดียก็ได้พบในปี พ.ศ. 1693 ว่า p = 3927/1250 = 3.1416 งานค้นคว้าเกี่ยวกับค่าของ p ได้หวนกลับสู่ยุโรปอีกครั้งหนึ่งในพุทธศตวรรษที่ 21 เมื่อ Francois Viete แห่งฝรั่งเศส ได้ใช้วิธีของ Archimedes สร้างรูป 393,216 เหลี่ยมด้านเท่าบรรจุลงในวงกลมแล้วคำนวณ p ซึ่งเขาก็ได้พบว่า p = 3.14159265358979323 ส่วน Ludolph Van Ceulen แห่งเนเธอร์แลนด์ ก็ได้พบว่า p ที่เขาหาได้จากการสร้างรูป 4.61 ล้านล้านล้านเหลี่ยมด้านเท่าลงในวงกลม มีค่าถูกต้องถึงทศนิยมตำแหน่งที่ 315 ซึ่งตัวเลขทั้ง 315 ตัวที่ Ceulen คำนวณได้นี้ได้ถูกนำมาเรียงจารึกบนหลุมฝังศพของเขา เมื่อเขาตาย งานคำนวณหาค่า p ได้เริ่มมีชีวิตชีวาใหม่อีกครั้งหนึ่ง เมื่อ Isaac Newton ได้สร้างวิชาแคลดูลัสขึ้นมาใช้ในการหาค่าของ p โดยได้พบว่า p = 4 (1-1/3+1/5-1/7+1/9-1/11+1/13-1/15.....) สูตรที่ Newton พบนี้ได้เปลี่ยนวิธีหาค่าของ p จากการสร้างรูปหลายเหลี่ยมด้านเท่ามาเป็นวิธีการบวกลบเศษส่วนแทน คือจากวิธีเรขาคณิตมาเป็นวิธีพืชคณิต แต่วิธีการเช่นนี้ก็ใช่ว่าจะประเสริฐ เพราะถ้าเราต้องการให้ค่าของ p ถูกต้องถึงทศนิยมตำแหน่งที่สอง เราต้องบวก ลบเทอมต่างๆ ถึง 50 เทอม และถ้าเราต้องการค่าที่ถูกต้องถึงทศนิยมตำแหน่งที่สาม เราต้องใช้ตัวเลขมากถึง 500 เทอม เป็นต้น และถ้าเราต้องการค่าให้ถูกต้องถึงทศนิยมตำแหน่งที่ร้อย เราก็ต้องบวก ลบเลขจำนวนล้านล้านล้านเทอม ซึ่งเป็นเรื่องที่ไม่สะดวกเลย ถึงกระนั้นนักคณิตศาสตร์ก็ได้ยอมรับว่าวิธีหาค่าของ p วิธีนี้ ดีกว่าวิธีเก่ามาก ในปี พ.ศ. 2242 Abicham Sharp ได้ใช้วิชาแคลดูลัสคำนวณหาค่าของ p ได้ถูกต้องถึงทศนิยมตำแหน่งที่ 72 และอีก 7 ปีต่อมา John Machin ได้พบสูตร p = 4 (arctan (1/5)-arctan (1/239)) และก็ได้ใช้สูตรนี้หาค่า p ถูกต้องถึงทศนิยมตำแหน่งที่ 100 ในปี พ.ศ. 2490 J.W. Wrench นักคณิตศาสตร์ชาวอเมริกันได้คำนวณค่า p ถูกต้องถึงทศนิยมตำแหน่งที่ 808 เมื่อถึงปี พ.ศ. 2492 การคำนวณหาค่า p ก็เริ่มเปลี่ยนโฉมใหม่ เมื่อกองทัพบกของสหรัฐฯ ได้ใช้เครื่องคอมพิวเตอร์ ENIAC คำนวณ p ได้ทศนิยมถูกต้องถึง 2,037 ตำแหน่ง โดยใช้เวลานาน 70 ชั่วโมง และเมื่อเทคโนโลยีคอมพิวเตอร์ได้รับการพัฒนามากขึ้น การคำนวณค่า p ก็ยิ่งถูกต้องและละเอียดมากขึ้น ในปี พ.ศ. 2538 Yasumasa Kanada แห่งมหาวิทยาลัยโตเกียว ได้คำนวณค่า p ถึงทศนิยมตำแหน่งที่ 4,294,960,000 และได้พบว่าตัวเลขทศนิยมตำแหน่งที่ 4 พันล้านนั้น คือเลข 9 แล้วมีเลข 4375343.....ตาม ข้อสังเกตหนึ่งที่ Kanada กับคณะได้พบคือ จากตัวเลขทั้ง 4 พันล้านตัวเลขนั้น เลข 6 ปรากฏบ่อยครั้งที่สุดคือ 400,033,035 ครั้ง และเลข 2 ปรากฏน้อยครั้งที่สุดคือ 399,965,405 ครั้ง และในปี พ.ศ. 2542 Y.Kanada ก็ได้ลบสถิติของตนเอง เมื่อเขาประกาศว่า เขาได้คำนวณค่า p ถูกต้องถึงทศนิยมตำแหน่งที่ 206,158,430,000 โดยใช้วิธีการสองรูปแบบที่แตกต่างกัน โดยคอมพิวเตอร์เครื่องหนึ่งใช้เวลานาน 37 ชั่วโมง และอีกเครื่องหนึ่งใช้เวลา 46 ชั่วโมง ผลการคำนวณแสดงให้เห็นว่า ตัวเลขทศนิยมตำแหน่งที่ 206,158,430,000 นั่นคือเลข 4 คำถามหนึ่งที่คนทั่วไปต้องการรู้คำตอบคือ เหตุใดมนุษย์จึงต้องทุ่มเทความพยายาม (และทรัพย์สิน) ในการหาค่า p ให้ได้จุดทศนิยมละเอียดถึงล้านล้านล้าน...ตำแหน่ง เพราะเวลานักฟิสิกส์ต้องการจะรู้ขนาดของจักรวาล เพียงเขาใช้ค่า p ที่มีจุดทศนิยมเพียง 40 ตำแหน่ง เขาก็สามารถรู้ขนาดดังกล่าวอย่างผิดพลาดไม่เกิน 0.000000001 เมตร แล้ว โดยไม่จำเป็นต้องใช้ตัวเลขที่ละเอียดถึงสองแสนล้านล้านตำแหน่งทศนิยมเลย คำตอบก็มีว่า นักคอมพิวเตอร์ใช้วิธีคำนวณค่า p ในการทดสอบประสิทธิภาพการทำงานของคอมพิวเตอร์ เพราะในโปรแกรมที่ใช้ในการหาค่า p ให้ถูกต้องถึงทศนิยมตำแหน่งที่แสนล้านหลักนั้น คอมพิวเตอร์ต้องทำงานร้อยล้านล้านขั้นตอนอย่างไม่ผิดพลาด และคอมพิวเตอร์เครื่องใดที่สามารถทำงานได้เป็นล้านล้านๆ ขั้นตอนได้อย่างไม่ผิดพลาดเลยนั้น ก็สมควรได้รับการยกย่องว่าเป็นคอมพิวเตอร์เทวดาสร้างจริงๆ ส่วนนักคณิตศาสตร์เองก็มีความสนใจที่จะศึกษาดูว่า จากตัวเลขจุดทศนิยมที่ปรากฏออกมาเป็นล้านล้านล้าน...เลขนั้น ตัวเลข 0, 1, 2, 3.....9 ปรากฏตัวบ่อยครั้งเท่ากันหรือไม่ และตัวเลขเหล่านั้นมีรูปแบบการปรากฏหรือไม่ว่าจะเริ่มซ้ำที่ทศนิยมตำแหน่งใด เป็นต้น เช่นได้มีการพบว่า ตัวเลขชุด 314159 ได้ปรากฏเรียงกัน 6 ครั้งในบรรดาเลข 710,000 ตัวแรก เป็นต้น
และถ้าเราพิจารณาดูค่าของ p อีกครั้ง เราก็จะเห็นว่า เลข 3.14159265...นั้น แสดงให้เรารู้ว่าตัวเลขต่างๆ ที่ปรากฏไม่มีรูปแบบแน่นอนว่า ถ้ามีเลข 1 นำแล้วตามด้วย 4, 1, 5 แล้ว 9...ตัวเลขเหล่านี้ปรากฏอย่างสะเปะสะปะ บางครั้งก็ 3 แล้วไป 2 ย้ายมา 9 จากนั้น 8...ซึ่งนักคณิตศาสตร์เรียกลักษณะการปรากฏตัวเช่นนี้ว่า สุ่ม (random) ดังนั้น เวลานักคณิตศาสตร์กล่าวว่า ตัวเลขเหล่านี้มีการกระจัดกระจายแบบสุ่ม นั่นก็หมายความว่า ถึงแม้เราจะรู้ตัวเลขทุกตัวขณะนี้ แต่เราก็ไม่สามารถบอกได้ว่า ตัวเลขตัวต่อไปจะเป็นตัวเลขอะไร นักคณิตศาสตร์ส่วนมากเชื่อว่าเลขทศนิยมของ p เป็นเลขสุ่ม แต่ก็ไม่มีใครสามารถพิสูจน์ได้ว่า มันเป็นเลขสุ่มอย่างแท้จริงตลอดระยะเวลา 900 ปีที่ผ่านมา แต่เมื่อเดือนสิงหาคมที่ผ่านมานี้ Richard Crandall แห่ง Reed College และ David Bailey แห่ง Lawrence Berkeley National Laboratory ในสหรัฐอเมริกาได้รายงานในวารสาร Experimental Mathematics ว่า สมการ xn = (2xn-1+1/n) mod1 เวลาให้ค่า x0 = 0 จะได้ x1 = 0, x2 = 1/2, x3 = 1/3, x4 = 11/12, x5=1/30 x6 = 7/30, x7 = 64/105, x8 = 289/840...ซึ่งตัวเลขเหล่านี้จะให้ค่า log2 = 0.6931471805599453... โดยการเสนอสูตรเช่นนี้ Bailey และ Crandall จึงได้ชื่อว่าเป็นผู้ที่พบวิธีพิสูจน์ว่าเลขทศนิยมของ log2 เป็นเลขสุ่ม และก็ได้ตั้งความหวังให้คนอื่นๆ รู้ว่า เทคนิคการพิสูจน์สภาพสุ่มของ p ก็คงสามารถกระทำได้เช่นกัน หากใครสามารถหาสมการ dynamical map ที่คล้องจองกับมันได้ ดังเช่นในกรณีของ log2 สำหรับเราๆ นั้น เราก็หวังว่างานวิจัยหาค่า p คงดำเนินต่อไปอีก จนกระทั่งได้ทศนิยมตำแหน่งสุดท้าย แต่เมื่อไม่มีใครรู้ชัดว่า ตัวเลขตัวสุดท้ายของค่า p มีหรือไม่มี และถ้ามีมันจะเป็นตัวเลขอะไร งานวิจัยเรื่องนี้จึงดูเป็นงานที่ไม่รู้เสร็จ
3.14159 day
ค่าประมาณของPi ที่เรานิยมใช้กันคือ 3.14159 ดังนั้นจึงมีประเพณีในแวดวงคณิตศาตร์สากลว่าให้ ยึดถือวันที่ 14 เดือน 3 (มีนาคม )เป็นวัน pi day โดยมีการเฉลิมฉลองกันในเวลา 1.59 น.อีกด้วย และวันนี้เป็นวันเกิดของ Albert Einstein อีกด้วย
Pi เป็นจำนวนอตรรกยะจริงหรือ
Pi เป็นจำนวนอตรรกยะจริงหรือ
ในการศึกษาเรื่องของจำนวนจริง เราแบ่งจำนวนจริงออกได้เป็น 2 ประเภท คือ จำนวนตรรกยะ และ จำนวนอตรรกยะ จำนวนตรรกยะคือจำนวนที่สามารถเขียนได้ในรูปของทศนิยมรู้จบหรือทศนิยมแบบไม่รู้จบแบบซ้ำได้
Pi เป็นจำนวนจริงที่มีค่าเท่ากับอัตราส่วนของเส้นรอบวงของวงกลมกับเส้นผ่านศูนย์กลางของวงกลม โจนส์ (William Jones) เป็นบุคคลแรกที่นำเอาอักษรกรีก Pi มาใช้ โดยให้มีค่าเท่ากับ อัตราส่วนดังกล่าว ซึ่งท่านนำมาใช้ตั้งแต่ปี ค.ศ. 1706 ในหนังสือ A New Introduction to the Mathematics แต่ยังไม่เผยแพร่จนกระทั่ง ออยเลอย์ (Leonhard Euler) ได้นำเอาการกำหนดค่าของ Pi ดังกล่าวมาใช้ในงานของท่านมากมาย จนกระทั่งเป็นที่ยอมรับและใช้กันมาจนถึงทุกวันนี้
ถ้าเราย้อนไปดูอดีตของความพยายามในการหาค่าของอัตราส่วนของเส้นรอบวงกลมกับเส้นผ่านศูนย์กลางเราจะพบว่าในสมัยเริ่มต้นค่านี้จะถูกประมาณด้วย 3 ชาวอิยิปต์ให้ค่า Pi ไว้ เท่ากับ 3.1604 อาร์คีมีดีส (Archimedes) ได้ให้ของเขตของค่า Pi ไว้ว่า ค่า Pi จะมีค่าอยู่ระหว่าง 22/7 กับ 223/71 ซึ่งให้ความถูกต้องของค่า Pi ได้ถึงทศนิยมตำแหน่งที่ 2 ว่ามีค่าเท่ากับ 3.14 สำหรับวิธีที่อาร์คีมีดีสใช้เป็นวิธีการเพิ่มจำนวนรูปหลายเหลี่ยมลงในวงกลม วิธีดังกล่าวได้ถูกนักคณิตศาสตร์ท่านอื่นมาปรับปรุงเพื่อใช้หาค่า Pi ที่ถูกต้องมากยิ่งขึ้น นอกจากนี้ยังมีวิธีอื่นๆ รวมทั้งการใช้คอมพิวเตอร์ ในการคำนวณหาค่าของ นอกจากความพยายามในการหาค่าที่แท้จริงของค่า Pi แล้วก็ยังมีนักคณิตศาสตร์ชาวเยอรมัน ชื่อ ลัมแบร์ต (Johann Heinrich Lambert) ได้พิสูจน์ว่า Pi เป็นจำนวนอตรรกยะ โดยที่ท่านได้แสดงการพิสูจน์ว่า ถ้า x เป็นจำนวนตรรกยะที่ไม่เท่ากับศูนย์ แล้ว tan x ต้องไม่เป็นจำนวนตรรกยะ เนื่องจาก tan = 1 ผลที่ตามมาก็คือ Pi/4 หรือ Pi ต้องไม่เป็นจำนวนตรรกยะ
อย่างไรก็ตามจากบทความของ Dr. Tomaczewski ผู้อำนวยการ The Advanced Computer Numerics Foundation ในรัฐโคโลราโด ประเทศสหรัฐอเมริกาได้แถลงว่า สถาบันแห่งนี้ได้พัฒนาโปรแกรมในการหาค่าของ Pi ผลที่ได้จากเครื่องคอมพิวเตอร์พบว่า ค่าของ นี้จะสิ้นสุดลงที่ตำแหน่ง 2,075,932,542,102 โดยที่เครื่องคอมพิวเตอร์ได้พิมพ์เลขศูนย์เป็นจำนวนหลายล้านตัวหลังจากทศนิยมในตำแหน่งดังกล่าว เขาจึงเชื่อว่า เป็นจำนวนตรรกยะ
นักคณิตศาสตร์หลายท่านคงไม่ยอมรับการพิสูจน์ว่า เป็นจำนวนตรรกยะโดยใช้เครื่องคอมพิวเตอร์ดังที่กล่าวมา แต่การแถลงการณ์ของ Dr. Tomaczewski ทำให้เราทราบความคืบหน้าอีกก้าวหนึ่งในวงการคณิตศาสตร์
ในการศึกษาเรื่องของจำนวนจริง เราแบ่งจำนวนจริงออกได้เป็น 2 ประเภท คือ จำนวนตรรกยะ และ จำนวนอตรรกยะ จำนวนตรรกยะคือจำนวนที่สามารถเขียนได้ในรูปของทศนิยมรู้จบหรือทศนิยมแบบไม่รู้จบแบบซ้ำได้
Pi เป็นจำนวนจริงที่มีค่าเท่ากับอัตราส่วนของเส้นรอบวงของวงกลมกับเส้นผ่านศูนย์กลางของวงกลม โจนส์ (William Jones) เป็นบุคคลแรกที่นำเอาอักษรกรีก Pi มาใช้ โดยให้มีค่าเท่ากับ อัตราส่วนดังกล่าว ซึ่งท่านนำมาใช้ตั้งแต่ปี ค.ศ. 1706 ในหนังสือ A New Introduction to the Mathematics แต่ยังไม่เผยแพร่จนกระทั่ง ออยเลอย์ (Leonhard Euler) ได้นำเอาการกำหนดค่าของ Pi ดังกล่าวมาใช้ในงานของท่านมากมาย จนกระทั่งเป็นที่ยอมรับและใช้กันมาจนถึงทุกวันนี้
ถ้าเราย้อนไปดูอดีตของความพยายามในการหาค่าของอัตราส่วนของเส้นรอบวงกลมกับเส้นผ่านศูนย์กลางเราจะพบว่าในสมัยเริ่มต้นค่านี้จะถูกประมาณด้วย 3 ชาวอิยิปต์ให้ค่า Pi ไว้ เท่ากับ 3.1604 อาร์คีมีดีส (Archimedes) ได้ให้ของเขตของค่า Pi ไว้ว่า ค่า Pi จะมีค่าอยู่ระหว่าง 22/7 กับ 223/71 ซึ่งให้ความถูกต้องของค่า Pi ได้ถึงทศนิยมตำแหน่งที่ 2 ว่ามีค่าเท่ากับ 3.14 สำหรับวิธีที่อาร์คีมีดีสใช้เป็นวิธีการเพิ่มจำนวนรูปหลายเหลี่ยมลงในวงกลม วิธีดังกล่าวได้ถูกนักคณิตศาสตร์ท่านอื่นมาปรับปรุงเพื่อใช้หาค่า Pi ที่ถูกต้องมากยิ่งขึ้น นอกจากนี้ยังมีวิธีอื่นๆ รวมทั้งการใช้คอมพิวเตอร์ ในการคำนวณหาค่าของ นอกจากความพยายามในการหาค่าที่แท้จริงของค่า Pi แล้วก็ยังมีนักคณิตศาสตร์ชาวเยอรมัน ชื่อ ลัมแบร์ต (Johann Heinrich Lambert) ได้พิสูจน์ว่า Pi เป็นจำนวนอตรรกยะ โดยที่ท่านได้แสดงการพิสูจน์ว่า ถ้า x เป็นจำนวนตรรกยะที่ไม่เท่ากับศูนย์ แล้ว tan x ต้องไม่เป็นจำนวนตรรกยะ เนื่องจาก tan = 1 ผลที่ตามมาก็คือ Pi/4 หรือ Pi ต้องไม่เป็นจำนวนตรรกยะ
อย่างไรก็ตามจากบทความของ Dr. Tomaczewski ผู้อำนวยการ The Advanced Computer Numerics Foundation ในรัฐโคโลราโด ประเทศสหรัฐอเมริกาได้แถลงว่า สถาบันแห่งนี้ได้พัฒนาโปรแกรมในการหาค่าของ Pi ผลที่ได้จากเครื่องคอมพิวเตอร์พบว่า ค่าของ นี้จะสิ้นสุดลงที่ตำแหน่ง 2,075,932,542,102 โดยที่เครื่องคอมพิวเตอร์ได้พิมพ์เลขศูนย์เป็นจำนวนหลายล้านตัวหลังจากทศนิยมในตำแหน่งดังกล่าว เขาจึงเชื่อว่า เป็นจำนวนตรรกยะ
นักคณิตศาสตร์หลายท่านคงไม่ยอมรับการพิสูจน์ว่า เป็นจำนวนตรรกยะโดยใช้เครื่องคอมพิวเตอร์ดังที่กล่าวมา แต่การแถลงการณ์ของ Dr. Tomaczewski ทำให้เราทราบความคืบหน้าอีกก้าวหนึ่งในวงการคณิตศาสตร์
เพลงเกี่ยวกับค่าพาย
Happy Pi Day
Happy Pi day to you,
Happy Pi day to you,
Happy Pi day everybody,
Happy Pi day to you.
(to the tune of "Happy Birthday")
Oh Number PI
Oh, number Pi
Oh, number Pi
Your digits are unending,
Oh, number Pi
Oh, number Pi
No pattern are you sending.
You're three point one four one five nine,
And even more if we had time,
Oh, number Pi
Oh, number Pi
For circle lengths unbending.
Oh, number Pi
Oh, number Pi
You are a number very sweet,
Oh, number Pi
Oh, number Pi
Your uses are so very neat.
There's 2 Pi r and Pi r squared,
A half a circle and you're there,
Oh, number Pi
Oh, number Pi
We know that Pi's a tasty treat.
(to the tune of "Oh Christmas Tree")
Pi Day Song
Refrain:Pi day songs
All day long.
Oh, what fun it is,
To sing a jolly pi day song
in a fun math class
like this. (Repeat )
Verse:
Circles in the snow,
Around and round we go.
How far did we have to run?
Diameter times pi! (Refrain )
(to the tune of "Jingle Bells")
Happy Pi day to you,
Happy Pi day to you,
Happy Pi day everybody,
Happy Pi day to you.
(to the tune of "Happy Birthday")
Oh Number PI
Oh, number Pi
Oh, number Pi
Your digits are unending,
Oh, number Pi
Oh, number Pi
No pattern are you sending.
You're three point one four one five nine,
And even more if we had time,
Oh, number Pi
Oh, number Pi
For circle lengths unbending.
Oh, number Pi
Oh, number Pi
You are a number very sweet,
Oh, number Pi
Oh, number Pi
Your uses are so very neat.
There's 2 Pi r and Pi r squared,
A half a circle and you're there,
Oh, number Pi
Oh, number Pi
We know that Pi's a tasty treat.
(to the tune of "Oh Christmas Tree")
Pi Day Song
Refrain:Pi day songs
All day long.
Oh, what fun it is,
To sing a jolly pi day song
in a fun math class
like this. (Repeat )
Verse:
Circles in the snow,
Around and round we go.
How far did we have to run?
Diameter times pi! (Refrain )
(to the tune of "Jingle Bells")
เวกเตอร์(Vector)
เวกเตอร์(Vector)
คุณรู้สึกสงสัยไหมว่าการบวกเวกเตอร์ทำไมต้องบวกแบบสี่เหลี่ยมด้านขนาน
(หางต่อหัว) ทำไมจึงนิยามผลคูณเชิงสเกลาร์และผลคูณเชิงเวกเตอร์แบบนั้น ทำไมเวกเตอร์ (ซึ่งดูเหมือนว่าจะเป็นสิ่งสมมติ) จึงสามารถนำไปคำนวณการเคลื่อนที่ของวัตถุ (ซึ่งเป็นเรื่องจริง) ได้ ฯลฯ เมื่อได้เรียนสูงขึ้นความสงสัยนี้ก็ยังมีอยู่ คราใดที่เห็นหนังสือที่คาดว่าจะมีคำตอบ ก็จะพลิกๆหาดู เป็นเช่นนี้อยู่นับสิบปีก็ไม่พบคำตอบที่ต้องการ ถ้าจะมีก็มีเพียงบางเล่มที่กล่าวถึงบ้างเล็กน้อย ในปัจจุบันนักเรียนมัธยมปลายก็ยังมีความสงสัยในลักษณะเช่นนี้อยู่ เมื่อเริ่มเรียนเวกเตอร์ นักเรียนจะพิศวงงงงวยกับการบวกแบบแปลกประหลาดที่เรียกว่า การบวกแบบสี่เหลี่ยมด้านขนาน (แบบหางต่อหัว) ซึ่งเป็นนิยามของการบวกเวกเตอร์ และ การบวกเวกเตอร์โดยใช้กฎของ cosine ทั้งนี้เพราะเราเรียนเวกเตอร์ในรูปแบบของคณิตศาสตร์มากเกินไปจนขาดความเข้าใจในความคิดพื้นฐานของเวกเตอร์ส่วนการเรียนการสอนเวกเตอร์ในสามมิตินั้นยังไม่ค่อยประสบความสำเร็จ เพราะเป็นการสอนในกระดาน ที่เป็น 2 มิติ ทำให้นักเรียนไม่เข้าใจความลึกของเวกเตอร์
วิธีการสอนเวกเตอร์ที่ดี
1) เริ่มต้นด้วยการให้นักเรียนตระหนักถึงความสำคัญของการบวกแบบสี่เหลี่ยมด้านขนาน และการบวกแบบรูปเหลี่ยมปิด
2) คราวนี้ให้นักเรียนยกตัวอย่างปริมาณที่มีทั้งขนาดและทิศทาง และประพฤติตัวตามกฎการบวกแบบสี่เหลี่ยมด้านขนาน หรือที่เราเรียกกันว่าเวกเตอร์นี่แหละ จากนั้นอธิบายว่าในการที่จะนำเวกเตอร์ไปทำนายการเคลื่อนที่ของวัตถุ เราต้องสร้างพีชคณิตของเวกเตอร์ ขึ้นมา ซึ่งจะพบว่าเริ่มจากกฎการเคลื่อนที่ข้อที่ 2 ของนิวตัน ซึ่งเป็นสมการของเวกเตอร์เมื่อใช้พีชคณิตเวกเตอร์เข้าไป ก็จะได้ความสัมพันธ์ของปริมาณต่างๆ เช่น หลักของงาน-พลังงานจลน์ ความสัมพันธ์ระหว่างการดลกับโมเมนตัมที่เปลี่ยนไป เป็นต้น โดยเราใช้ความสัมพันธ์เหล่านี้ทำนายการเคลื่อนที่ของวัตถุได้
เช่น Ek =( MV^2)/2,
Ep = MGH,
P = MV, I= P2-P1 = M(V2-V1)
เราเรียนเวกเตอร์ไปเพื่ออะไร?
1. นำไปประยุกต์ใช้ในวิชาฟิสิกส์ และวิศวกรรม
2. ใช้ในการหาระยะระหว่างต้นทางกับปลายทางในแผนที่ต่างๆ เช่น หาระยะ กรุงเทพฯ-หาดใหญ่
3. เวลากางร่มตอนฝนสาดมาเฉียงๆ,การขับรถเลี้ยวซ้าย ขวา เป็นการคำนวณเวกเตอร์ที่พบประจำ โดยใช้ความรู้สึกในชีวิตประจำวัน
คุณรู้สึกสงสัยไหมว่าการบวกเวกเตอร์ทำไมต้องบวกแบบสี่เหลี่ยมด้านขนาน
(หางต่อหัว) ทำไมจึงนิยามผลคูณเชิงสเกลาร์และผลคูณเชิงเวกเตอร์แบบนั้น ทำไมเวกเตอร์ (ซึ่งดูเหมือนว่าจะเป็นสิ่งสมมติ) จึงสามารถนำไปคำนวณการเคลื่อนที่ของวัตถุ (ซึ่งเป็นเรื่องจริง) ได้ ฯลฯ เมื่อได้เรียนสูงขึ้นความสงสัยนี้ก็ยังมีอยู่ คราใดที่เห็นหนังสือที่คาดว่าจะมีคำตอบ ก็จะพลิกๆหาดู เป็นเช่นนี้อยู่นับสิบปีก็ไม่พบคำตอบที่ต้องการ ถ้าจะมีก็มีเพียงบางเล่มที่กล่าวถึงบ้างเล็กน้อย ในปัจจุบันนักเรียนมัธยมปลายก็ยังมีความสงสัยในลักษณะเช่นนี้อยู่ เมื่อเริ่มเรียนเวกเตอร์ นักเรียนจะพิศวงงงงวยกับการบวกแบบแปลกประหลาดที่เรียกว่า การบวกแบบสี่เหลี่ยมด้านขนาน (แบบหางต่อหัว) ซึ่งเป็นนิยามของการบวกเวกเตอร์ และ การบวกเวกเตอร์โดยใช้กฎของ cosine ทั้งนี้เพราะเราเรียนเวกเตอร์ในรูปแบบของคณิตศาสตร์มากเกินไปจนขาดความเข้าใจในความคิดพื้นฐานของเวกเตอร์ส่วนการเรียนการสอนเวกเตอร์ในสามมิตินั้นยังไม่ค่อยประสบความสำเร็จ เพราะเป็นการสอนในกระดาน ที่เป็น 2 มิติ ทำให้นักเรียนไม่เข้าใจความลึกของเวกเตอร์
วิธีการสอนเวกเตอร์ที่ดี
1) เริ่มต้นด้วยการให้นักเรียนตระหนักถึงความสำคัญของการบวกแบบสี่เหลี่ยมด้านขนาน และการบวกแบบรูปเหลี่ยมปิด
2) คราวนี้ให้นักเรียนยกตัวอย่างปริมาณที่มีทั้งขนาดและทิศทาง และประพฤติตัวตามกฎการบวกแบบสี่เหลี่ยมด้านขนาน หรือที่เราเรียกกันว่าเวกเตอร์นี่แหละ จากนั้นอธิบายว่าในการที่จะนำเวกเตอร์ไปทำนายการเคลื่อนที่ของวัตถุ เราต้องสร้างพีชคณิตของเวกเตอร์ ขึ้นมา ซึ่งจะพบว่าเริ่มจากกฎการเคลื่อนที่ข้อที่ 2 ของนิวตัน ซึ่งเป็นสมการของเวกเตอร์เมื่อใช้พีชคณิตเวกเตอร์เข้าไป ก็จะได้ความสัมพันธ์ของปริมาณต่างๆ เช่น หลักของงาน-พลังงานจลน์ ความสัมพันธ์ระหว่างการดลกับโมเมนตัมที่เปลี่ยนไป เป็นต้น โดยเราใช้ความสัมพันธ์เหล่านี้ทำนายการเคลื่อนที่ของวัตถุได้
เช่น Ek =( MV^2)/2,
Ep = MGH,
P = MV, I= P2-P1 = M(V2-V1)
เราเรียนเวกเตอร์ไปเพื่ออะไร?
1. นำไปประยุกต์ใช้ในวิชาฟิสิกส์ และวิศวกรรม
2. ใช้ในการหาระยะระหว่างต้นทางกับปลายทางในแผนที่ต่างๆ เช่น หาระยะ กรุงเทพฯ-หาดใหญ่
3. เวลากางร่มตอนฝนสาดมาเฉียงๆ,การขับรถเลี้ยวซ้าย ขวา เป็นการคำนวณเวกเตอร์ที่พบประจำ โดยใช้ความรู้สึกในชีวิตประจำวัน
ประโยชน์ของเวกเตอร์
ประโยชน์ของเวกเตอร์
เวกเตอร์เป็นประโยชน์ในการศึกษาเรื่องการเคลื่อนที่ ความเร็ว และความเร่งแล้ว เวกเตอร์ยังเป็นประโยชน์ในการศึกษาวิชาคณิตศาสตร์อื่นๆ เช่น เรขาคณิต พีชคณิต เป็นต้น แนวทางในการศึกษาเวกเตอร์เบื้องต้นคือ การศึกษาในเชิงเรขาคณิตโดยให้นิยามว่าเวกเตอร์เป็นปริมาณที่มีทั้งขนาดและทิศทาง และใช้ลูกศรแทนเวกเตอร์ เวกเตอร์มีทั้งเวกเตอร์ในสองมิติและสามมิติ ความรู้เกี่ยวกับเวกเตอร์สามารถนำไปใช้เป็นประโยชน์ในด้านต่างๆได้มากมาย ทั้งในชีวิตประจำวันและการวางแผนการทำงานในอนาคต เช่น
1. ใช้ในการหาระยะระหว่างต้นทางกับปลายทางในแผนที่
ต่างๆ เช่น หาระยะกรุงเทพฯ-หาดใหญ่
2. เวลาเรากางร่มตอนฝนตกสาดมาเฉียงๆ เป็นการคำนวณ
เวกเตอร์ที่พบประจำ โดยใช้ความรู้สึก
3. เวลาบอกทางให้คนเดินทางหรือรถที่แล่นมาให้เลี้ยวซ้าย-เลี้ยว
ขวากี่ที คือการบอกแบบเวกเตอร์อย่างหนึ่ง
4. ตอนที่คุณขึ้น-ลงตึกโดยใช้ลิฟท์ ก็เป็นการเคลื่อนที่แบบเวกเตอร์
อย่างหนึ่ง
5. เวลาคุณโยนเศษกระดาษหรือสิ่งของให้ไปตกลงในถังขยะที่ห่าง
จากตัว คุณก็อาศัยเวกเตอร์กะระยะการโยนเพื่อให้ลงถังขยะได้
6. การออกแบบโครงสร้างอาคาร สำนักงานต่างๆ และที่อยู่อาศัย
7. การแก้ปัญหาโจทย์คณิตศาสตร์ที่ยากๆการนำมาสร้างสูตรทางฟิสิกส์ต่างๆ
เวกเตอร์เป็นประโยชน์ในการศึกษาเรื่องการเคลื่อนที่ ความเร็ว และความเร่งแล้ว เวกเตอร์ยังเป็นประโยชน์ในการศึกษาวิชาคณิตศาสตร์อื่นๆ เช่น เรขาคณิต พีชคณิต เป็นต้น แนวทางในการศึกษาเวกเตอร์เบื้องต้นคือ การศึกษาในเชิงเรขาคณิตโดยให้นิยามว่าเวกเตอร์เป็นปริมาณที่มีทั้งขนาดและทิศทาง และใช้ลูกศรแทนเวกเตอร์ เวกเตอร์มีทั้งเวกเตอร์ในสองมิติและสามมิติ ความรู้เกี่ยวกับเวกเตอร์สามารถนำไปใช้เป็นประโยชน์ในด้านต่างๆได้มากมาย ทั้งในชีวิตประจำวันและการวางแผนการทำงานในอนาคต เช่น
1. ใช้ในการหาระยะระหว่างต้นทางกับปลายทางในแผนที่
ต่างๆ เช่น หาระยะกรุงเทพฯ-หาดใหญ่
2. เวลาเรากางร่มตอนฝนตกสาดมาเฉียงๆ เป็นการคำนวณ
เวกเตอร์ที่พบประจำ โดยใช้ความรู้สึก
3. เวลาบอกทางให้คนเดินทางหรือรถที่แล่นมาให้เลี้ยวซ้าย-เลี้ยว
ขวากี่ที คือการบอกแบบเวกเตอร์อย่างหนึ่ง
4. ตอนที่คุณขึ้น-ลงตึกโดยใช้ลิฟท์ ก็เป็นการเคลื่อนที่แบบเวกเตอร์
อย่างหนึ่ง
5. เวลาคุณโยนเศษกระดาษหรือสิ่งของให้ไปตกลงในถังขยะที่ห่าง
จากตัว คุณก็อาศัยเวกเตอร์กะระยะการโยนเพื่อให้ลงถังขยะได้
6. การออกแบบโครงสร้างอาคาร สำนักงานต่างๆ และที่อยู่อาศัย
7. การแก้ปัญหาโจทย์คณิตศาสตร์ที่ยากๆการนำมาสร้างสูตรทางฟิสิกส์ต่างๆ
สมัครสมาชิก:
บทความ (Atom)